अर्द्धवार्षिक परीक्षा कक्षा 10 गणित नोट्स/ महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर 2026-27 (MP Board)

🛑 भाग 1: 1 अंक वाले 25 वस्तुनिष्ठ प्रश्न (उत्तर सहित)

(A) सही विकल्प चुनकर लिखिए (MCQs)

प्रश्न 1. यदि किसी द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यांक α और β हों, तो α • β (शून्यांकों का गुणनफल) का मान होगा:
(अ) c/a
(ब) -b/a
(स) a/c
(द) b/a
उत्तर: (अ) c/a

प्रश्न 2. समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 का एक अद्वितीय हल (Unique Solution) होने की शर्त है:
(अ) a₁/a₂ = b₁/b₂
(ब) a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
(स) a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं
उत्तर: (ब) a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

प्रश्न 3. द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विविक्तकर (Discriminant) D होता है:
(अ) b² – 4ac
(ब) b² + 4ac
(स) √(b² – 4ac)
(द) -b ± √D
उत्तर: (अ) b² – 4ac

प्रश्न 4. समांतर श्रेढ़ी (A.P.) 10, 7, 4, … का 30वां पद है:
(अ) 97
(ब) 77
(स) -77
(द) -87
उत्तर: (स) -77 [क्योंकि a=10, d=-3; a₃₀ = 10 + 29(-3) = 10 – 87 = -77]

प्रश्न 5. (sin² 25° + cos² 25°) का मान क्या होगा?
(अ) 0
(ब) 1
(स) 2
(द) -1
उत्तर: (ब) 1 [सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 से]

(B) रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

प्रश्न 6. एक द्विघात बहुपद के अधिकतम …………….. शून्यांक हो सकते हैं।
उत्तर: 2 (दो)

प्रश्न 7. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद a और सार्वअंतर d हो, तो उसका n-वां पद (a_n) = …………….. होगा।
उत्तर: a + (n – 1)d

प्रश्न 8. सभी समबाहु त्रिभुज समरूप …………….. होते हैं। (समरूप / सर्वांगसम)
उत्तर: समरूप

प्रश्न 9. बिंदु (x, y) की मूल बिंदु (0,0) से दूरी …………….. होती है।
उत्तर: √(x² + y²)

प्रश्न 10. वृत्त के किसी एक बिंदु पर स्पर्श करने वाली रेखा को …………….. रेखा कहते हैं।
उत्तर: स्पर्श रेखा (Tangent)

(C) सही जोड़ी बनाइए

उत्तर (सही मिलान): 1 → (C), 2 → (D), 3 → (A), 4 → (B), 5 → (E)

(D) एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिए

प्रश्न 16. रैखिक बहुपद (Linear Polynomial) की घात कितनी होती है?
उत्तर: 1 (एक)।

प्रश्न 17. समांतर श्रेढ़ी 2, 7, 12, … का सार्वअंतर (d) क्या है?
उत्तर: 5 (क्योंकि 7 – 2 = 5)।

प्रश्न 18. क्षैतिज रेखा और ऊपर स्थित वस्तु को देखने वाली दृष्टि रेखा के बीच बनने वाले कोण को क्या कहते हैं?
उत्तर: उन्नयन कोण (Angle of Elevation)।

प्रश्न 19. वृत्त की एक छेदक रेखा (Secant) वृत्त को कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है?
उत्तर: दो बिंदुओं पर।

प्रश्न 20. निर्देशांक ज्यामिति में किसी बिंदु की y-अक्ष से दूरी क्या कहलाती है?
उत्तर: x-निर्देशांक या भुज (Abscissa)।

(E) सत्य या असत्य बताइए

प्रश्न 21. बहुपद x² – 3 के शून्यांक ±√3 होते हैं।
उत्तर: सत्य

प्रश्न 22. यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हों तो विविक्तकर D = 0 होता है।
उत्तर: सत्य

प्रश्न 23. समांतर श्रेढ़ी 5, 8, 11, 14, … एक परिमित समांतर श्रेढ़ी है।
उत्तर: असत्य (यह अपरिमित श्रेढ़ी है)।

प्रश्न 24. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
उत्तर: असत्य (भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है)।

प्रश्न 25. sin θ का मान θ के बढ़ने के साथ बढ़ता है।
उत्तर: सत्य (sin 0°=0, sin 90°=1)

🛑 भाग 2: 2 अंक वाले 20 लघूत्तरीय प्रश्न (उत्तर सहित)

प्रश्न 1. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यांकों का योग -3 और गुणनफल 2 है।
हल: माना बहुपद x² – (α+β)x + αβ है।
दिया है: α+β = -3, αβ = 2
अतः अभीष्ट बहुपद = x² – (-3)x + 2 = x² + 3x + 2

प्रश्न 2. बहुपद p(x) = x² – 2x – 8 के शून्यांक ज्ञात कीजिए।
हल: x² – 4x + 2x – 8 = 0 ⇒ x(x – 4) + 2(x – 4) = 0
(x – 4)(x + 2) = 0 ⇒ x = 4, x = -2. अतः शून्यांक 4, -2 हैं।

प्रश्न 3. अनुपात a₁/a₂, b₁/b₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि समीकरण युग्म 2x – 3y = 8 और 4x – 6y = 9 संगत है या असंगत।
हल: a₁/a₂ = 2/4 = 1/2; b₁/b₂ = -3/-6 = 1/2; c₁/c₂ = 8/9
यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (कोई हल नहीं)। अतः यह युग्म असंगत है।

प्रश्न 4. प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल कीजिए: x + y = 14 और x – y = 4।
हल: समीकरण (2) से, x = 4 + y. इसे (1) में रखने पर: 4 + y + y = 14 ⇒ 2y = 10 ⇒ y = 5.
y का मान रखने पर: x = 4 + 5 = 9. अभीष्ट हल: x = 9, y = 5

प्रश्न 5. k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए द्विघात समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 के मूल बराबर हों।
हल: बराबर मूलों के लिए, D = b² – 4ac = 0
k² – 4(2)(3) = 0 ⇒ k² – 24 = 0 ⇒ k = ±√24 = ±2√6

प्रश्न 6. गुणनखंड विधि से समीकरण x² – 3x – 10 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।
हल: x² – 5x + 2x – 10 = 0 ⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
(x – 5)(x + 2) = 0 ⇒ x = 5, x = -2

प्रश्न 7. समांतर श्रेढ़ी 2, 7, 12, … का 10वां पद ज्ञात कीजिए।
हल: a = 2, d = 7 – 2 = 5, n = 10
a₁₀ = a + (10 – 1)d = 2 + 9(5) = 2 + 45 = 47

प्रश्न 8. श्रेढ़ी 21, 18, 15, … का कौन सा पद -81 है?
हल: a = 21, d = -3, a_n = -81
21 + (n – 1)(-3) = -81 ⇒ (n – 1)(-3) = -102 ⇒ n – 1 = 34 ⇒ n = 35वां पद

प्रश्न 9. समांतर श्रेढ़ी 2, 7, 12, … के प्रथम 10 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल: S_n = n/2 [2a + (n-1)d] ⇒ S₁₀ = 10/2 [2(2) + 9(5)]
S₁₀ = 5 [4 + 45] = 5 × 49 = 245

प्रश्न 10. आकृति में यदि DE || BC है, AD = 1.5 सेमी, DB = 3 सेमी, AE = 1 सेमी हो, तो EC ज्ञात कीजिए।

हल: थेल्स प्रमेय से, AD/DB = AE/EC ⇒ 1.5/3 = 1/EC

1/2 = 1/EC ⇒ EC = 2 सेमी

प्रश्न 11. क्या सभी समरूप आकृतियाँ सर्वांगसम भी होती हैं? कारण स्पष्ट कीजिए।

उत्तर: नहीं, सभी समरूप आकृतियाँ सर्वांगसम नहीं होतीं क्योंकि समरूप आकृतियों के आकार (Shape) समान होते हैं परंतु उनके माप (Size) का समान होना आवश्यक नहीं है।

प्रश्न 12. बिंदुओं (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: दूरी सूत्र = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

d = √[(4-2)² + (1-3)²] = √[2² + (-2)²] = √(4+4) = √8 = 2√2 मात्रक

प्रश्न 13. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (4, -3) और (8, 5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 3:1 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

हल: विभाजन सूत्र से, x = (m₁x₂+m₂x₁)/(m₁+m₂) = (3×8 + 1×4)/(3+1) = 28/4 = 7

y = (m₁y₂+m₂y₁)/(m₁+m₂) = (3×5 + 1×(-3))/(3+1) = 12/4 = 3. निर्देशांक = (7, 3)

प्रश्न 14. यदि tan A = 4/3 हो, तो sin A और cos A का मान ज्ञात कीजिए।

हल: लम्ब = 4, आधार = 3. कर्ण = √(4² + 3²) = √25 = 5.

sin A = लम्ब/कर्ण = 4/5; cos A = आधार/कर्ण = 3/5

प्रश्न 15. यदि sin 3A = cos (A – 26°) हो, जहाँ 3A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।

हल: cos(90° – 3A) = cos(A – 26°) ⇒ 90° – 3A = A – 26°

4A = 116° ⇒ A = 29°

प्रश्न 16. मान निकालिए: (2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°)।

हल: 2(1)² + (√3/2)² – (√3/2)² = 2 + 3/4 – 3/4 = 2

प्रश्न 17. एक बिंदु A से, जो एक वृत्त के केंद्र से 5 सेमी दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल: समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय से: कर्ण² = आधार² + लम्ब²

5² = 4² + r² ⇒ 25 = 16 + r² ⇒ r² = 9 ⇒ r = 3 सेमी

प्रश्न 18. वृत्त की स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच कितना कोण बनता है? स्पष्ट करें।

उत्तर: वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब (90°) होती है।

प्रश्न 19. किसी बंटन का माध्य 20 और बहुलक 26 है। इसका माध्यक ज्ञात कीजिए।

हल: सूत्र: बहुलक = 3 × माध्यक – 2 × माध्य

26 = 3 × माध्यक – 2(20) ⇒ 26 = 3 × माध्यक – 40 ⇒ 66 = 3 × माध्यक ⇒ माध्यक = 22

प्रश्न 20. वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने का ‘कल्पित माध्य विधि’ (Assumed Mean Method) का सूत्र लिखिए।

उत्तर: माध्य (x̄) = a + (∑f_id_i / ∑f_i), जहाँ d_i = x_i – a

🛑 भाग 3: 3 अंक वाले 20 महत्वपूर्ण प्रश्न (हल सहित)

प्रश्न 1. द्विघात बहुपद 3x² – x – 4 के शून्यांक ज्ञात कीजिए और शून्यांकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

हल: 3x² – 4x + 3x – 4 = 0 ⇒ x(3x – 4) + 1(3x – 4) = 0 ⇒ (3x – 4)(x + 1) = 0

शून्यांक α = 4/3, β = -1.

जाँच: (1) योगफल α+β = 4/3 – 1 = 1/3, जो -b/a = -(-1)/3 = 1/3 के बराबर है।

(2) गुणनफल αβ = (4/3)(-1) = -4/3, जो c/a = -4/3 के बराबर है। संबंध सत्य है।

प्रश्न 2. जाँच कीजिए कि क्या समीकरण युग्म 3x + 2y = 5 और 2x – 3y = 7 का एक अद्वितीय हल है? यदि हाँ, तो ग्राफीय प्रकृति बताइए।

हल: a₁/a₂ = 3/2, b₁/b₂ = 2/-3 = -2/3. यहाँ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ है।

अतः समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है। ग्राफीय रूप से ये दोनों रेखाएं एक-दूसरे को किसी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी।

प्रश्न 3. रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन विधि से हल कीजिए: 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2।

हल: समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर: 4x – 4y = 4 — (3)

समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर: (3x + 4y) + (4x – 4y) = 10 + 4 ⇒ 7x = 14 ⇒ x = 2.

x का मान (1) में रखने पर: 3(2) + 4y = 10 ⇒ 6 + 4y = 10 ⇒ 4y = 4 ⇒ y = 1.

हल: x = 2, y = 1

प्रश्न 4. 2 वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। 10 वर्ष पश्चात् नूरी की आयु सोनू की आयु की दोगुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल: माना नूरी की वर्तमान आयु x और सोनू की y वर्ष है।

शर्तानुसार: (x – 5) = 3(y – 5) ⇒ x – 3y = -10 — (1)

तथा (x + 10) = 2(y + 10) ⇒ x – 2y = 10 — (2)

(2) में से (1) घटाने पर: y = 20. y का मान (2) में रखने पर: x – 40 = 10 ⇒ x = 50.

अतः नूरी की आयु = 50 वर्ष, सोनू की आयु = 20 वर्ष।

प्रश्न 5. द्विघात समीकरण 2x² – 7x + 3 = 0 के मूल द्विघाती सूत्र (श्रीधराचार्य सूत्र) का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।

हल: a = 2, b = -7, c = 3. D = b² – 4ac = (-7)² – 4(2)(3) = 49 – 24 = 25.

सूत्र: x = [-b ± √D] / 2a ⇒ x = [-(-7) ± √25] / (2×2)

x = [7 ± 5] / 4. धनात्मक लेने पर: x = 12/4 = 3; ऋणात्मक लेने पर: x = 2/4 = 1/2. मूल: 3, 1/2

प्रश्न 6. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।

हल: माना पहली संख्या x है, तो दूसरी संख्या (27 – x) होगी।

गुणनफल: x(27 – x) = 182 ⇒ 27x – x² = 182 ⇒ x² – 27x + 182 = 0

x² – 13x – 14x + 182 = 0 ⇒ (x – 13)(x – 14) = 0 ⇒ x = 13 या x = 14.

अतः संख्याएँ 13 और 14 हैं।

प्रश्न 7. उस समांतर श्रेढ़ी का 31वां पद ज्ञात कीजिए जिसका 11वां पद 38 है और 16वां पद 73 है।

हल: a₁₁ = a + 10d = 38 — (1) तथा a₁₆ = a + 15d = 73 — (2)

समीकरण (2) में से (1) घटाने पर: 5d = 35 ⇒ d = 7.

d का मान (1) में रखने पर: a + 10(7) = 38 ⇒ a + 70 = 38 ⇒ a = -32.

31वां पद a₃₁ = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178

प्रश्न 8. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज (Multiples) हैं?

हल: 10 और 250 के बीच 4 का पहला गुणज 12 और अंतिम 248 है। श्रेढ़ी: 12, 16, 20, …, 248.

a = 12, d = 4, a_n = 248 ⇒ 12 + (n – 1)4 = 248

(n – 1)4 = 236 ⇒ n – 1 = 59 ⇒ n = 60 गुणज

प्रश्न 9. समांतर श्रेढ़ी 1, 4, 7, 10, … के कितने पदों का योगफल 715 होगा?

हल: a = 1, d = 3, S_n = 715 ⇒ n/2 [2(1) + (n-1)3] = 715

n [2 + 3n – 3] = 1430 ⇒ n(3n – 1) = 1430 ⇒ 3n² – n – 1430 = 0

गुणनखंड करने पर: 3n² – 66n + 65n – 1430 = 0 ⇒ 3n(n – 22) + 65(n – 22) = 0

n = 22 (क्योंकि n ऋणात्मक या भिन्न नहीं हो सकता)। पदों की संख्या = 22

प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है (कक्षा 9 में पढ़ी गई मध्य बिंदु प्रमेय)।

हल: माना ΔABC में, D भुजा AB का मध्य बिंदु है (AD = DB) और DE || BC रेखा खींची गई है।

आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) से:

AD/DB = AE/EC

चूँकि AD = DB है, इसलिए AD/DB = 1 होगा ⇒ 1 = AE/EC ⇒ AE = EC.

अतः बिंदु E, AC का मध्य बिंदु है, अर्थात रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। इति सिद्धम्।

प्रश्न 11. x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ (Equidistant) हो।

हल: माना x-अक्ष पर अभीष्ट बिंदु P(x, 0) है। A(2, -5) और B(-2, 9). दिया है: PA = PB ⇒ PA² = PB²

(x – 2)² + (0 – (-5))² = (x – (-2))² + (0 – 9)²

x² – 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81 ⇒ -4x + 29 = 4x + 85

-8x = 56 ⇒ x = -7. अतः बिंदु (-7, 0) है।

प्रश्न 12. यदि बिंदु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और D(p, 3) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष इसी क्रम में हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।

हल: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

अतः AC के मध्य बिंदु का x-निर्देशांक = BD के मध्य बिंदु का x-निर्देशांक

(6 + 9) / 2 = (8 + p) / 2 ⇒ 15 = 8 + p ⇒ p = 7

प्रश्न 13. सिद्ध कीजिए: (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot²A।

हल: LHS = sin²A + cosec²A + 2sinA•cosecA + cos²A + sec²A + 2cosA•secA

चूँकि sin²A + cos²A = 1, sinA•cosecA = 1, cosA•secA = 1

LHS = 1 + 2(1) + 2(1) + cosec²A + sec²A = 5 + (1 + cot²A) + (1 + tan²A)

LHS = 5 + 1 + 1 + tan²A + cot²A = 7 + tan²A + cot²A = RHS. इति सिद्धम्।

प्रश्न 14. यदि 15 cot A = 8 हो, तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।

हल: cot A = 8/15 = आधार/लम्ब ⇒ आधार = 8, लम्ब = 15.

कर्ण = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17.

sin A = लम्ब/कर्ण = 15/17; sec A = कर्ण/आधार = 17/8

प्रश्न 15. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है (प्रमेय 10.1)।

हल: माना एक ओ (O) केंद्र वाला वृत्त है जिसकी स्पर्श रेखा XY स्पर्श बिंदु P पर है। हम XY पर P के अतिरिक्त एक बिंदु Q लेते हैं और OQ को मिलाते हैं। बिंदु Q वृत्त के बाहर होना चाहिए क्योंकि यदि यह अंदर होगा तो XY स्पर्श रेखा नहीं छेदक रेखा बन जाएगी। अतः OQ की लंबाई त्रिज्या OP से बड़ी होगी (OQ > OP)। यह स्थिति P के अतिरिक्त XY के प्रत्येक बिंदु के लिए सत्य है। अतः OP, केंद्र O से रेखा XY की न्यूनतम दूरी है, और न्यूनतम दूरी हमेशा लंबवत होती है। इसलिए OP ⊥ XY. इति सिद्धम्।

प्रश्न 16. सिद्ध कीजिए कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं (प्रमेय 10.2)।

हल: माना केंद्र O वाले वृत्त के बाहर एक बिंदु P है जहाँ से दो स्पर्श रेखाएं PQ और PR खींची गई हैं। हम OP, OQ और OR को मिलाते हैं। समकोण त्रिभुज ΔOQP और ΔORP में:

OQ = OR (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

OP = OP (उभयनिष्ठ भुजा)

∠OQP = ∠ORP = 90° (त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है)

RHS सर्वांगसमता नियम से, ΔOQP ≅ ΔORP. अतः CPCT से, PQ = PR. इति सिद्धम्।

प्रश्न 17. 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?

हल: कुल परिणामों की संख्या = 20. खराब बल्बों (अनुकूल परिणामों) की संख्या = 4.

प्रायिकता P(खराब बल्ब) = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम = 4 / 20 = 1/5

प्रश्न 18. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: (i) एक अभाज्य संख्या, (ii) एक विषम संख्या।

हल: पासे पर कुल परिणाम = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (कुल = 6)

(i) अभाज्य संख्याएँ = {2, 3, 5} (कुल = 3). प्रायिकता = 3/6 = 1/2

(ii) विषम संख्याएँ = {1, 3, 5} (कुल = 3). प्रायिकता = 3/6 = 1/2

प्रश्न 19. किसी कक्षा के विद्यार्थियों के मेडिकल चेकअप के दौरान उनका भार निम्नानुसार पाया गया। माध्य भार ज्ञात कीजिए (प्रत्यक्ष विधि से):

भार (किग्रा में): 40-45, 45-50, 50-55; बारंबारता (f): 2, 3, 5.

हल:

वर्ग चिह्न (x): 42.5, 47.5, 52.5.

f•x का मान: 2×42.5 = 85; 3×47.5 = 142.5; 5×52.5 = 262.5.

∑f = 2 + 3 + 5 = 10. ∑fx = 85 + 142.5 + 262.5 = 490.

माध्य (x̄) = ∑fx / ∑f = 490 / 10 = 49 किग्रा

प्रश्न 20. निम्नलिखित आंकड़ों का बहुलक (Mode) ज्ञात कीजिए:

वर्ग अंतराल: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40; बारंबारता: 5, 10, 7, 3.

हल: यहाँ अधिकतम बारंबारता 10 है, अतः बहुलक वर्ग = 10-20.

l = 10, f₁ = 10, f₀ = 5, f₂ = 7, h = 10.

बहुलक = l + [(f₁ – f₀) / (2f₁ – f₀ – f₂)] × h

बहुलक = 10 + [(10 – 5) / (20 – 5 – 7)] × 10 = 10 + [5 / 8] × 10 = 10 + 6.25 = 16.25

🛑 भाग 4: 4 अंक वाले 15 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (विस्तृत हल सहित)

प्रश्न 1. दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का 9 गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का 2 गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: माना दहाई का अंक x तथा इकाई का अंक y है। संख्या = 10x + y.

प्रथम शर्त: x + y = 9 — (1)

अंकों को पलटने पर बनी संख्या = 10y + x.

द्वितीय शर्त: 9(10x + y) = 2(10y + x) ⇒ 90x + 9y = 20y + 2x

88x – 11y = 0 ⇒ 8x – y = 0 ⇒ y = 8x — (2)

y का मान (1) में रखने पर: x + 8x = 9 ⇒ 9x = 9 ⇒ x = 1.

x का मान (2) में रखने पर: y = 8(1) = 8.

अतः अभीष्ट संख्या = 10(1) + 8 = 18

प्रश्न 2. 5 वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। 5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

हल: माना जैकब की वर्तमान आयु x वर्ष तथा उसके पुत्र की आयु y वर्ष है।

5 वर्ष बाद: (x + 5) = 3(y + 5) ⇒ x – 3y = 10 — (1)

5 वर्ष पूर्व: (x – 5) = 7(y – 5) ⇒ x – 7y = -30 — (2)

समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर: 4y = 40 ⇒ y = 10.

y का मान (1) में रखने पर: x – 3(10) = 10 ⇒ x – 30 = 10 ⇒ x = 40.

अतः जैकब की वर्तमान आयु = 40 वर्ष और पुत्र की आयु = 10 वर्ष।

प्रश्न 3. एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 मीटर है। बाग की विमाएँ (Vimaye) ज्ञात कीजिए।

हल: माना बाग की चौड़ाई x मीटर है, तो लंबाई (x + 4) मीटर होगी।

आयताकार बाग का अर्धपरिमाप = लंबाई + चौड़ाई

दिया है: अर्धपरिमाप = 36 मीटर ⇒ (x + 4) + x = 36

2x + 4 = 36 ⇒ 2x = 32 ⇒ x = 16 मीटर.

चौड़ाई = 16 मीटर; लंबाई = 16 + 4 = 20 मीटर.

विमाएँ: लंबाई = 20 मीटर, चौड़ाई = 16 मीटर

प्रश्न 4. द्विघात समीकरण 2x² – 6x + 3 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूल वास्तविक हैं, तो उन्हें भी ज्ञात कीजिए।

हल: a = 2, b = -6, c = 3. D = b² – 4ac = (-6)² – 4(2)(3) = 36 – 24 = 12.

चूँकि D > 0 है, अतः मूल वास्तविक और भिन्न होंगे।

द्विघाती सूत्र से मूल x = [-(-6) ± √12] / (2×2) = [6 ± 2√3] / 4

अंश से 2 कॉमन लेकर काटने पर: x = (3 ± √3) / 2

प्रश्न 5. दो वर्गो के क्षेत्रफलों का योग 468 वर्ग मीटर है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24 मीटर हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

हल: माना बड़े वर्ग की भुजा x मीटर तथा छोटे वर्ग की भुजा y मीटर है।

परिमापों का अंतर: 4x – 4y = 24 ⇒ x – y = 6 ⇒ x = 6 + y — (1)

क्षेत्रफलों का योग: x² + y² = 468 — (2)

(1) का मान (2) में रखने पर: (6 + y)² + y² = 468

36 + 12y + y² + y² = 468 ⇒ 2y² + 12y – 432 = 0 ⇒ y² + 6y – 216 = 0

y² + 18y – 12y – 216 = 0 ⇒ (y + 18)(y – 12) = 0 ⇒ y = 12 मीटर (भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती)।

बड़े वर्ग की भुजा x = 6 + 12 = 18 मीटर. भुजाएँ: 18 मीटर और 12 मीटर

प्रश्न 6. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम 14 पदों का योग 1050 है तथा इसका प्रथम पद 10 है, तो 20वां पद ज्ञात कीजिए।

हल: S₁₄ = 1050, n = 14, a = 10. सूत्र: S_n = n/2 [2a + (n-1)d]

1050 = 14/2 [2(10) + 13d] ⇒ 1050 = 7 [20 + 13d] ⇒ 150 = 20 + 13d

13d = 130 ⇒ d = 10.

20वां पद: a₂₀ = a + 19d = 10 + 19(10) = 10 + 190 = 200

प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं (थेल्स प्रमेय / आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय)।

हल:दिया है: ΔABC में, रेखा DE || BC है जो AB को D पर तथा AC को E पर काटती है।

सिद्ध करना है: AD/DB = AE/EC

रचना: B को E से और C को D से मिलाया। DM ⊥ AC तथा EN ⊥ AB खींचा।

उपपत्ति: क्षेत्रफल (ΔADE) = 1/2 × आधार × ऊँचाई = 1/2 × AD × EN

क्षेत्रफल (ΔBDE) = 1/2 × DB × EN

अतः अनुपात: क्षेत्रफल(ΔADE)/क्षेत्रफल(ΔBDE) = AD/DB — (1)

इसी प्रकार दूसरी तरफ: क्षेत्रफल(ΔADE)/क्षेत्रफल(ΔDEC) = AE/EC — (2)

चूँकि ΔBDE और ΔDEC एक ही आधार DE और समांतर रेखाओं DE व BC के बीच बने त्रिभुज हैं, इसलिए क्षेत्रफल(ΔBDE) = क्षेत्रफल(ΔDEC) होगा।

अतः समीकरण (1) और (2) से: AD/DB = AE/EC. इति सिद्धम्।

प्रश्न 8. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम (Congruent) होते हैं।

हल: माना ΔABC ~ ΔPQR और क्षेत्रफल(ΔABC) = क्षेत्रफल(ΔPQR) है।

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल प्रमेय से:

क्षेत्रफल(ΔABC)/क्षेत्रफल(ΔPQR) = (AB/PQ)² = (BC/QR)² = (AC/PR)²

चूँकि क्षेत्रफल बराबर हैं, अतः अनुपात 1 होगा ⇒ 1 = (AB/PQ)² ⇒ AB = PQ.

इसी प्रकार, BC = QR और AC = PR होगा।

अतः SSS सर्वांगसमता नियम के अनुसार, ΔABC ≅ ΔPQR. इति सिद्धम्।

प्रश्न 9. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।

हल: हम चतुर्भुज ABCD को विकर्ण AC खींचकर दो त्रिभुजों ΔABC और ΔADC में विभाजित करते हैं।

Δ का क्षेत्रफल सूत्र = 1/2 |x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)|

ΔABC के लिए: 1/2 |-4(-5 – (-2)) + (-3)(-2 – (-2)) + 3(-2 – (-5))| = 1/2 |12 + 0 + 9| = 21/2 वर्ग मात्रक।

ΔADC के लिए: 1/2 |-4(-2 – 3) + 3(3 – (-2)) + 2(-2 – (-2))| = 1/2 |20 + 15 + 0| = 35/2 वर्ग मात्रक।

कुल क्षेत्रफल = 21/2 + 35/2 = 56/2 = 28 वर्ग मात्रक

प्रश्न 10. समुद्र तल से 75 मीटर ऊँची लाइटहाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइटहाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: माना लाइटहाउस AB = 75 मीटर है। दो जहाजों की स्थिति C और D है। ∠ACB = 45° और ∠ADB = 30°.

समकोण ΔABC में: tan 45° = AB/BC ⇒ 1 = 75/BC ⇒ BC = 75 मीटर.

समकोण ΔABD में: tan 30° = AB/BD ⇒ 1/√3 = 75/BD ⇒ BD = 75√3 मीटर.

दोनों जहाजों के बीच की दूरी CD = BD – BC = 75√3 – 75 = 75(√3 – 1) मीटर

प्रश्न 11. 1.5 मीटर लंबा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5 मीटर की दूरी पर है। उसकी आँखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। चिमनी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल: माना चिमनी की कुल ऊँचाई H है। प्रेक्षक की दूरी = चिमनी के आधार से दूरी = 28.5 मीटर.

आँखों के क्षैतिज स्तर से चिमनी के शीर्ष की बची हुई ऊँचाई h = H – 1.5 मीटर.

समकोण त्रिभुज में: tan 45° = लम्ब/आधार = h / 28.5 ⇒ 1 = h / 28.5 ⇒ h = 28.5 मीटर.

चिमनी की कुल ऊँचाई H = h + 1.5 = 28.5 + 1.5 = 30 मीटर

प्रश्न 12. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। सिद्ध कीजिए: AB + CD = AD + BC (अत्यंत महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न)।

हल: माना वृत्त चतुर्भुज की भुजाओं AB, BC, CD और DA को क्रमशः बिंदुओं P, Q, R और S पर स्पर्श करता है।

बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है (प्रमेय 10.2 से):

AP = AS — (1)

BP = BQ — (2)

CR = CQ — (3)

DR = DS — (4)

चारों समीकरणों को जोड़ने पर: (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)

समीकरणों के समूहों को संयोजित करने पर: AB + CD = AD + BC. इति सिद्धम्।

प्रश्न 13. एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (Surnames) यादृच्छया लिए गए। उनसे अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ। कुलनामों का माध्यक (Median) ज्ञात कीजिए:

अक्षरों की संख्या: 1-4, 4-7, 7-10, 10-13, 13-16, 16-19

कुलनामों की संख्या (f): 6, 30, 40, 16, 4, 4

हल:

संचयी बारंबारता (cf) तालिका बनाएँ: 6, 36, 76, 92, 96, 100.

यहाँ N = 100, अतः N/2 = 50. संचयी बारंबारता 50 वर्ग अंतराल 7-10 में आती है।

माध्यक वर्ग = 7-10. l = 7, cf = 36 (पूर्व वर्ग की cf), f = 40, h = 3.

सूत्र: माध्यक = l + [(N/2 – cf) / f] × h

माध्यक = 7 + [(50 – 36) / 40] × 3 = 7 + [14 / 40] × 3 = 7 + 42/40 = 7 + 1.05 = 8.05

प्रश्न 14. निम्नलिखित जीवन बीमा आंकड़ों के आधार पर माध्यक आयु परिकलित कीजिए:

आयु (वर्षों में): 20 से कम, 25 से कम, 30 से कम, 35 से कम, 40 से कम, 45 से कम

पॉलिसीधारकों की संख्या (cf दिया है): 2, 6, 24, 45, 78, 89

हल संकेतन: इसे सतत वर्ग अंतरालों (15-20, 20-25, …) में बदलकर मूल बारंबारता (f) ज्ञात करेंगे: 2, 4, 18, 21, 33, 11.

N/2 = 89/2 = 44.5. माध्यक वर्ग = 30-35. l=30, cf=24, f=21, h=5.

माध्यक = 30 + [(44.5 – 24) / 21] × 5 = 30 + [20.5 / 21] × 5 = 30 + 4.88 = 34.88 वर्ष

प्रश्न 15. किसी कारखाने के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित वितरण को ‘कम प्रकार के’ संचयी बारंबारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण (Ogive Graph) खींचने की विधि स्पष्ट कीजिए:

दैनिक मजदूरी: 100-120, 120-140, 140-160, 160-180, 180-200

श्रमिकों की संख्या: 12, 14, 8, 6, 10

हल: कम प्रकार की संचयी बारंबारता सारणी निम्न प्रकार होगी:

– 120 से कम = 12

– 140 से कम = 12 + 14 = 26

– 160 से कम = 26 + 8 = 34

– 180 से कम = 34 + 6 = 40

– 200 से कम = 40 + 10 = 50

तोरण आलेख खींचने की विधि: x-अक्ष पर उच्च वर्ग सीमाएं (120, 140, 160, 180, 200) और y-अक्ष पर संचयी बारंबारता (12, 26, 34, 40, 50) लेकर क्रमित युग्मों (Points) को ग्राफ पेपर पर अंकित करते हैं और उन्हें एक मुक्त हस्त वक्र (Free-hand curve) द्वारा मिला देते हैं। यही अभीष्ट ‘कम प्रकार का’ तोरण वक्र है।

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