अर्द्धवार्षिक परीक्षा 2026-27 : कक्षा 12 गणित (Mathematics) मॉडल / प्रैक्टिस प्रश्न पत्र

प्रश्न 1. सही विकल्प चुनकर लिखिए: (6 × 1 = 6 अंक)

1. यदि समुच्चय A = {1, 2, 3} पर परिभाषित एक संबंध R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)} है, तो संबंध R है:
   (अ) केवल स्वतुल्य    (ब) केवल सममित    (स) स्वतुल्य तथा सममित दोनों    (द) तुल्यता संबंध
2. sin^-1(-1/2) का मुख्य मान (Principal value) होगा:
   (अ) π/6    (ब) -π/6    (स) 5π/6    (द) 7π/6
3. यदि एक आव्यूह A की कोटि 2 × 3 है और B की कोटि 3 × 4 है, तो आव्यूह AB की कोटि होगी:
   (अ) 3 × 3    (ब) 2 × 4    (स) 4 × 2    (द) 3 × 4
4. यदि y = log(sin x) है, तो dy/dx का मान होगा:
   (अ) tan x    (ब) cot x    (स) -cot x    (द) sec x
5. ∫ e^x (tan x + sec² x) dx का मान है:
   (अ) e^x sec x + C    (ब) e^x tan x + C    (स) -e^x tan x + C    (द) e^x sec² x + C
6. सदिश r = i + j + k की दिक-कोसाइन (Direction cosines) हैं:
   (अ) (1, 1, 1)    (ब) (1/√2, 1/√2, 1/√2)    (स) (1/√3, 1/√3, 1/√3)    (द) (0, 0, 0)

प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए: (6 × 1 = 6 अंक)

1. एक फलन f: A → B एकैकी आच्छादक (Bijective) कहलाता है यदि f एकैकी तथा ………………….. दोनों हो।
2. cos^-1(x) का मुख्य शाखा का परिसर (Range) ………………….. होता है।
3. एक वर्ग आव्यूह A विषम-सममित (Skew-symmetric) कहलाता है यदि A’ = ………………….. ।
4. वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष, जब r = 5 सेमी है, ………………….. होगी।
5. अवकल समीकरण (d²y/dx²)³ + (dy/dx)² + sin(y) = 0 की घात ………………….. है।
6. y-अक्ष की दिक-कोसाइन ………………….. होती हैं।

प्रश्न 3. सत्य/असत्य लिखिए: (6 × 1 = 6 अंक)

1. प्रत्येक फलन का प्रतिलोम फलन सदैव विद्यमान होता है।
2. यदि |A| = 0 है, तो आव्यूह A व्युत्क्रमणीय आव्यूह (Invertible matrix) कहलाता है।
3. यदि f(x) = |x| है, तो यह बिंदु x = 0 पर सतत (Continuous) है।
4. निश्चित समाकलन ∫_a^b f(x) dx का मान चर x पर निर्भर करता है।
5. दो समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल (Cross product) सदैव शून्य सदिश होता है।
6. रेखा x/1 = y/0 = z/0, x-अक्ष के समांतर है।

प्रश्न 4. सही जोड़ी बनाइए: (7 × 1 = 7 अंक)

प्रश्न 5. एक वाक्य/शब्द में उत्तर लिखिए: (7 × 1 = 7 अंक)

1. यदि f(x) = 8x³ और g(x) = x^1/3 है, तो gof(x) का मान क्या होगा?
2. tan^-1(1) + cos^-1(-1/2) का सरलतम मान लिखिए।
3. यदि A एक 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है, तो |3A| का मान k|A| के रूप में क्या होगा?
4. यदि f(x) = x³ – 3x बिन्दुओं पर वर्धमान है या ह्रासमान, इसकी जांच के लिए f'(x) क्या होगा?
5. अवकल समीकरण dy/dx = (1 + y²)/(1 + x²) का व्यापक हल किस रूप में होगा?
6. सदिश i – 2j + 2k के अनुदिश मात्रक (इकाई) सदिश लिखिए।
7. बिंदु (1, 2, 3) से होकर जाने वाली तथा दिक-अनुपात (3, 4, 5) वाली रेखा का कार्तीय समीकरण लिखिए।

प्रश्न 6. यदि f: R → R, f(x) = cos x द्वारा परिभाषित है, तो जांच कीजिए कि क्या यह एकैकी (One-One) फलन है। (2 अंक)

प्रश्न 7. सरल कीजिए: tan^-1[ (cos x – sin x) / (cos x + sin x) ], जहाँ 0 < x < π/2 है। (2 अंक)

प्रश्न 8. आव्यूह A = [[2, 4], [3, 2]] तथा B = [[1, 3], [-2, 5]] के लिए 2A – B का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

प्रश्न 9. सारणिक |[x, x+1], [x-1, x]| का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

प्रश्न 10. यदि x² + xy + y² = 100 है, तो dy/dx का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

प्रश्न 11. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, की त्रिज्या 10 सेमी/सेकंड की दर से बढ़ रही है। जब त्रिज्या 15 सेमी है, तो इसके आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

प्रश्न 12. मान ज्ञात कीजिए: ∫ (x³ – 1) / x² dx (2 अंक)

प्रश्न 13. अवकल समीकरण dy/dx = sec x (sec x + tan x) को हल कीजिए। (2 अंक)

प्रश्न 14. सदिशों a = 2i + j + 3k और b = 3i – 2j + k के बीच का कोण (θ) ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

प्रश्न 15. उस रेखा के दिक-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। (2 अंक)

लघु उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक प्रश्न पर 03 अंक निर्धारित हैं – आंतरिक विकल्प सहित)

प्रश्न 16. यदि आव्यूह A = [[1, 5], [6, 7]] है, तो सत्यापित कीजिए कि (A + A’) एक सममित (Symmetric) आव्यूह है तथा (A – A’) एक विषम-सममित आव्यूह है। (3 अंक)
अथवा / OR
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि: |[1, a, a²], [1, b, b²], [1, c, c²]| = (a – b)(b – c)(c – a)

प्रश्न 17. k का मान ज्ञात कीजिए ताकि फलन f(x) = { (kx + 1, यदि x ≤ 5), (3x – 5, यदि x > 5) } निर्दिष्ट बिंदु x = 5 पर सतत हो। (3 अंक)
अथवा / OR
यदि x = a(t + sin t) और y = a(1 – cos t) है, तो d²y/dx² का मान t = π/2 पर ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 18. मान ज्ञात कीजिए: ∫ [ x / ((x + 1)(x + 2)) ] dx (आंशिक भिन्न विधि द्वारा)। (3 अंक)
अथवा / OR
निश्चित समाकलन के गुणधर्मों का प्रयोग कर मान ज्ञात कीजिए: ∫₀^π/2 [ √sin x / (√sin x + √cos x) ] dx

प्रश्न 19. अवकल समीकरण x dy/dx – y = 2x² का व्यापक हल (General solution) ज्ञात कीजिए। (3 अंक)
अथवा / OR
दर्शाइए कि अवकल समीकरण (x – y) dy/dx = x + 2y एक समघातीय (Homogeneous) अवकल समीकरण है, इसे हल भी कीजिए।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक प्रश्न पर 04 अंक निर्धारित हैं – आंतरिक विकल्प सहित)

प्रश्न 20. आव्यूह विधि (Matrix Method) का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए:

2x + 3y + 3z = 5

x – 2y + z = -4

3x – y – 2z = 3 (4 अंक)
अथवा / OR
प्रारंभिक संक्रियाओं (Elementary Operations) के प्रयोग द्वारा आव्यूह A = [[1, 2], [3, 7]] का व्युत्क्रम (Inverse) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 21. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 7 से प्रदत्त फलन f (i) निरंतर वर्धमान है, (ii) निरंतर ह्रासमान है। (4 अंक)
अथवा / OR
सिद्ध कीजिए कि दिए गए पृष्ठ और अधिकतम आयतन वाले लंब वृत्तीय बेलन (Cylinder) की ऊंचाई, उसके आधार के व्यास के बराबर होती है।

प्रश्न 22. समाकलन का उपयोग करते हुए वृत्त x² + y² = a² का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (4 अंक)
अथवा / OR
समाकलन का उपयोग करते हुए दीर्घवृत्त (Ellipse) x²/a² + y²/b² = 1 का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 23. रेखाओं r = (i + 2j + k) + λ(i – j + k) और r = (2i – j – k) + μ(2i + j + 2k) के बीच की न्यूनतम दूरी (Shortest Distance) ज्ञात कीजिए। (4 अंक)
अथवा / OR
रेखाओं (x-1)/2 = (y-2)/3 = (z-3)/4 तथा (x-2)/3 = (y-4)/4 = (z-5)/5 के प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात कीजिए तथा इनके बीच का कोण भी ज्ञात कीजिए।

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