अर्द्धवार्षिक परीक्षा कक्षा 12 गणित नोट्स/ महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर 2026-27 (MP Board)

🛑 भाग 1: 1 अंक वाले 25 वस्तुनिष्ठ प्रश्न (उत्तर सहित)

(A) सही विकल्प चुनकर लिखिए (MCQs)

प्रश्न 1. यदि फलन f: R → R, f(x) = x⁴ द्वारा परिभाषित है, तो फलन f है:
(अ) एकैकी आच्छादक
(ब) बहुएक आच्छादक
(स) एकैकी है परंतु आच्छादक नहीं
(द) न तो एकैकी है और न आच्छादक
उत्तर: (द) न तो एकैकी है और न आच्छादक [क्योंकि f(1)=f(-1)=1 तथा ऋणात्मक संख्याएँ किसी का प्रतिबिंब नहीं हैं]

प्रश्न 2. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन sin^-1x का मुख्य मान शाखा परिसर (Principal Value Branch) है:
(अ) [-π/2, π/2]
(ब) (0, π)
(स) [0, π]
(द) (-π/2, π/2)
उत्तर: (अ) [-π/2, π/2]

प्रश्न 3. यदि A एक 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह (Square Matrix) है, तो |kA| का मान होगा:
(अ) k|A|
(ब) k²|A|
(स) k³|A|
(द) 3k|A|
उत्तर: (स) k³|A|

प्रश्न 4. अवकल समीकरण (d²y/dx²)³ + (dy/dx)² + sin(dy/dx) + 1 = 0 की घात (Degree) है:
(अ) 3
(ब) 2
(स) 1
(द) परिभाषित नहीं है
उत्तर: (द) परिभाषित नहीं है [क्योंकि अवकलज sin के पद के अंदर फलन के रूप में है]

प्रश्न 5. यदि सदिश a⃗ और b⃗ इस प्रकार हैं कि |a⃗| = 3, |b⃗| = √2/3 और a⃗ × b⃗ एक मात्रक सदिश है, तो a⃗ और b⃗ के बीच का कोण होगा:
(अ) π/6
(ब) π/4
(स) π/3
(द) π/2
उत्तर: (ब) π/4 [क्योंकि |a⃗×b⃗| = |a⃗||b⃗|sinθ ⇒ 1 = 3 × (√2/3) × sinθ ⇒ sinθ = 1/√2]

(B) रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

प्रश्न 6. समुच्चय A पर परिभाषित संबंध R एक ‘तुल्यता संबंध’ (Equivalence Relation) कहलाता है यदि वह स्वतुल्य, सममित और …………….. हो।
उत्तर: संक्रामक (Transitive)

प्रश्न 7. cos^-1(-1/2) का मुख्य मान …………….. होता है।
उत्तर: 2π/3 [π – cos^-1(1/2) = π – π/3 = 2π/3]

प्रश्न 8. एक आव्यूह A विषम-सममित आव्यूह (Skew-symmetric Matrix) कहलाता है यदि A’ = …………….. हो।
उत्तर: -A

प्रश्न 9. निश्चित समाकलन ∫_a^b f(x) dx = – ∫_b^a …………….. dx होता है।
उत्तर: f(x)

प्रश्न 10. सदिश a⃗ = î + ĵ + k̂ की दिक्-कोज्याएँ (Direction Cosines) …………….. होंगी।
उत्तर: (1/√3, 1/√3, 1/√3)

(C) सही जोड़ी बनाइए

उत्तर (सही मिलान): 1 → (B), 2 → (A), 3 → (E), 4 → (C), 5 → (D)

(D) एक वाक्य / शब्द में उत्तर दीजिए

प्रश्न 16. यदि आव्यूह A का क्रम 2 × 3 तथा B का क्रम 3 × 4 हो, तो आव्यूह AB का क्रम क्या होगा?
उत्तर: 2 × 4 कोटि।

प्रश्न 17. रोले का प्रमेय (Rolle’s Theorem) के अनुसार फलन f(x) के लिए f'(c) का मान क्या होना चाहिए?
उत्तर: f'(c) = 0.

प्रश्न 18. वक्र y = x² के बिंदु (1, 1) पर स्पर्श रेखा की ढाल (प्रवणता) क्या होगी?
उत्तर: 2 [क्योंकि dy/dx = 2x, बिंदु (1,1) पर 2(1) = 2]।

प्रश्न 19. अवकल समीकरण dy/dx + Py = Q का समाकलन गुणांक (Integrating Factor – I.F.) क्या होता है?
उत्तर: e^{∫P dx}.

प्रश्न 20. सदिश a⃗ का सदिश b⃗ पर प्रक्षेप (Projection) का सूत्र लिखिए।
उत्तर: (a⃗ • b⃗) / |b⃗|.

(E) सत्य या असत्य बताइए

प्रश्न 21. प्रत्येक सतत फलन (Continuous Function) अवकलनीय भी होता है।
उत्तर: असत्य [जैसे f(x) = |x|, x = 0 पर सतत है परंतु अवकलनीय नहीं है]।

प्रश्न 22. यदि |A| = 0 हो, तो आव्यूह A व्युत्क्रमणीय आव्यूह (Invertible Matrix) कहलाता है।
उत्तर: असत्य [वह अव्युत्क्रमणीय (Singular) आव्यूह कहलाता है]।

प्रश्न 23. वृत्त x² + y² = a² का कुल क्षेत्रफल πa² वर्ग मात्रक होता है।
उत्तर: सत्य

प्रश्न 24. अवकल समीकरण dy/dx = e^x+y एक चर पृथक्करण प्रकार का समीकरण है।
उत्तर: सत्य [इसे dy/e^y = e^x dx लिखा जा सकता है]।

प्रश्न 25. दो सदिशों का सदिश गुणनफल (Cross Product) सममित नियम का पालन करता है (अर्थात a⃗×b⃗ = b⃗×a⃗)।
उत्तर: असत्य [क्योंकि a⃗ × b⃗ = – (b⃗ × a⃗)]।

🛑 भाग 2: 2 अंक वाले 25 लघूत्तरीय प्रश्न (उत्तर सहित)

प्रश्न 1. यदि समुच्चय A = {1, 2, 3} पर परिभाषित संबंध R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)} है, तो जाँच कीजिए कि क्या यह सममित है?
हल: चूँकि संबंध R में (1,2) ∈ R के लिए इसका उल्टा (2,1) ∈ R भी उपस्थित है। अतः संबंध R सममित (Symmetric) है।

प्रश्न 2. मान ज्ञात कीजिए: tan^-1(1) + cos^-1(-1/2)।
हल: tan^-1(1) = π/4; cos^-1(-1/2) = π – π/3 = 2π/3.
अतः मान = π/4 + 2π/3 = (3π + 8π) / 12 = 11π/12

प्रश्न 3. यदि आव्यूह A = [2 4; 3 2] और B = [1 3; -2 5] हो, तो 2A – B ज्ञात कीजिए।
हल: 2A = [4 8; 6 4].
2A – B = [4-1 8-3; 6-(-2) 4-5] = [3 5; 8 -1]

प्रश्न 4. यदि [x+2 y; 0 5] = [4 6; 0 5] हो, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए।
हल: आव्यूहों की तुलना करने पर: x + 2 = 4 ⇒ x = 2 तथा सीधे y = 6.

प्रश्न 5. सारणिक |2 4; -5 -1| का मान ज्ञात कीजिए।
हल: मान = (2 × -1) – (4 × -5) = -2 – (-20) = -2 + 20 = 18

प्रश्न 6. यदि फलन f(x) = x² + 3x + 5 हो, तो x = 1 पर सांतत्य की जाँच कीजिए।
हल: f(1) = 1² + 3(1) + 5 = 9.
lim (x→1) f(x) = 1 + 3 + 5 = 9. चूँकि lim f(x) = f(1), अतः फलन x = 1 पर सतत (Continuous) है।

प्रश्न 7. यदि y = cos(sin x) हो, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
हल: शृंखला नियम (Chain Rule) से: dy/dx = -sin(sin x) • d/dx(sin x)
dy/dx = -cos x • sin(sin x)

प्रश्न 8. यदि x = a cosθ, y = a sinθ हो, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
हल: dx/dθ = -a sinθ; dy/dθ = a cosθ.
dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ) = (a cosθ) / (-a sinθ) = -cotθ

प्रश्न 9. एक वृत्त की त्रिज्या r = 5 सेमी पर त्रिज्या के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
हल: क्षेत्रफल A = πr² ⇒ dA/dr = 2πr.
r = 5 सेमी पर, dA/dr = 2π(5) = 10π वर्ग सेमी/सेमी

प्रश्न 10. फलन f(x) = x² – 4x + 7 के लिए अंतराल [1, 5] में वर्धमान (Increasing) क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

हल: f'(x) = 2x – 4. वर्धमान के लिए f'(x) > 0 ⇒ 2x – 4 > 0 ⇒ x > 2.

अतः फलन अंतराल (2, 5] में वर्धमान है।

प्रश्न 11. समाकलन कीजिए: ∫ (x³ – 1)/x² dx।

हल: ∫ (x³/x² – 1/x²) dx = ∫ (x – x^-2) dx = x²/2 – (x^-1/-1) + C = x²/2 + 1/x + C

प्रश्न 12. मान ज्ञात कीजिए: ∫₀^π/2 cos x dx।

हल: ∫ cos x dx = [sin x]₀^π/2 = sin(π/2) – sin(0) = 1 – 0 = 1

प्रश्न 13. अवकल समीकरण dy/dx = (1 + y²)/(1 + x²) को हल कीजिए।

हल: चरों को पृथक करने पर: dy / (1 + y²) = dx / (1 + x²).

दोनों ओर समाकलन करने पर: tan^-1y = tan^-1x + C

प्रश्न 14. अवकल समीकरण d²y/dx² + 3(dy/dx)² + y = 0 की कोटि और घात लिखिए।

हल: उच्चतम अवकलज d²y/dx² है, अतः कोटि (Order) = 2 तथा उसकी घात घात (Degree) = 1 है।

प्रश्न 15. सदिश a⃗ = 2î + 3ĵ + k̂ का परिमाण (Magnitude) ज्ञात कीजिए।

हल: |a⃗| = √(2² + 3² + 1²) = √(4 + 9 + 1) = √14

प्रश्न 16. यदि दो सदिशों a⃗ = î – 2ĵ + k̂ तथा b⃗ = 3î – ĵ + 2k̂ हों, तो अदिश गुणनफल a⃗•b⃗ ज्ञात कीजिए।

हल: a⃗ • b⃗ = (1)(3) + (-2)(-1) + (1)(2) = 3 + 2 + 2 = 7

प्रश्न 17. दर्शाइए कि सदिश a⃗ = î – ĵ और b⃗ = î + ĵ परस्पर लंबवत हैं।

हल: a⃗ • b⃗ = (1)(1) + (-1)(1) = 1 – 1 = 0. चूँकि अदिश गुणनफल शून्य है, अतः सदिश परस्पर लंबवत (⊥) हैं।

प्रश्न 18. फलन f(x) = log(sin x) का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए।

हल: dy/dx = (1/sin x) • d/dx(sin x) = cos x / sin x = cot x

प्रश्न 19. समाकलन कीजिए: ∫ e^2x+3 dx।

हल: प्रतिस्थापन विधि से 2x+3 = t रखने पर: ∫ e^2x+3 dx = (1/2) e^2x+3 + C

प्रश्न 20. यदि P(A) = 0.6, P(B) = 0.3 और P(A ∩ B) = 0.2 हो, तो सशर्त प्रायिकता P(A|B) ज्ञात कीजिए।

हल: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.2 / 0.3 = 2/3

प्रश्न 21. आव्यूह A = [1 2; 3 4] का परिवर्त आव्यूह (Transpose Matrix) A’ ज्ञात कीजिए।

हल: पंक्तियों को स्तंभों में बदलने पर: A’ = [1 3; 2 4]

प्रश्न 22. यदि f(x) = sin x + cos x हो, तो f”(x) का मान ज्ञात कीजिए।

हल: f'(x) = cos x – sin x ⇒ f”(x) = -sin x – cos x

प्रश्न 23. मान ज्ञात कीजिए: ∫ 1/(1 + x²) dx।

हल: सीधे मानक सूत्र से: tan^-1x + C

प्रश्न 24. यदि सदिश a⃗ = 2î – ĵ + 2k̂ हो, तो इसके अनुदिश मात्रक सदिश (Unit Vector) â ज्ञात कीजिए।

हल: |a⃗| = √(4+1+4) = 3. â = a⃗/|a⃗| = (2/3)î – (1/3)ĵ + (2/3)k̂

प्रश्न 25. अंतराल [0, 2] में फलन f(x) = x² के लिए माध्यमान प्रमेय (Lagrange’s Mean Value Theorem) से c का मान ज्ञात कीजिए।

हल: f(0)=0, f(2)=4. f'(c) = [f(2)-f(0)]/(2-0) ⇒ 2c = (4-0)/2 = 2 ⇒ c = 1 (जो अंतराल (0,2) के बीच में है)।

🛑 भाग 3: 3 अंक वाले 20 महत्वपूर्ण प्रश्न (पूर्ण हल सहित)

प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12} पर परिभाषित संबंध R = {(a,b) : |a – b|, 4 का एक गुणज है} एक तुल्यता संबंध (Equivalence Relation) है।

हल:

1. स्वतुल्य: प्रत्येक a ∈ A के लिए, |a – a| = 0, जो 4 का गुणज है। अतः (a,a) ∈ R. (स्वतुल्य है)

2. सममित: यदि (a,b) ∈ R, तो |a – b| = 4k ⇒ |b – a| = 4k, अतः (b,a) ∈ R. (सममित है)

3. संक्रामक: यदि (a,b) ∈ R और (b,c) ∈ R, तो a – b = ±4k₁ और b – c = ±4k₂.
जोड़ने पर: a – c = 4(±k₁ ±k₂), जो 4 का गुणज है, अतः (a,c) ∈ R. (संक्रामक है)। तीनों शर्तों के कारण यह तुल्यता संबंध है।

प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए: tan^-1(1/2) + tan^-1(1/3) = π/4।

हल: सूत्र tan^-1x + tan^-1y = tan^-1[(x + y) / (1 – xy)] का उपयोग करने पर:

LHS = tan^-1[ (1/2 + 1/3) / (1 – (1/2 × 1/3)) ] = tan^-1[ (5/6) / (1 – 1/6) ]

LHS = tan^-1[ (5/6) / (5/6) ] = tan^-1(1) = π/4 = RHS. इति सिद्धम्।

प्रश्न 3. यदि A = [1 2; 3 4] हो, तो सिद्ध कीजिए कि A – A’ एक विषम-सममित आव्यूह (Skew-symmetric Matrix) है।

हल: A’ = [1 3; 2 4].

माना क (C) = A – A’ = [1-1 2-3; 3-2 4-4] = [0 -1; 1 0].

अब C’ = [0 1; -1 0] = – [0 -1; 1 0] = -C.

चूँकि C’ = -C है, अतः सिद्ध होता है कि A – A’ एक विषम-सममित आव्यूह है।

प्रश्न 4. सारणिक के गुणधर्मों का उपयोग किए बिना या हल करके मान ज्ञात कीजिए: |1 1 1; a b c; b+c c+a a+b|।

हल: पंक्ति संक्रिया R₃ → R₃ + R₂ लगाने पर:

सारणिक = |1 1 1; a b c; a+b+c a+b+c a+b+c|.

तीसरी पंक्ति से (a+b+c) कॉमन लेने पर: (a+b+c) × |1 1 1; a b c; 1 1 1|.

चूँकि पहली पंक्ति (R₁) और तीसरी पंक्ति (R₃) सर्वसम (समान) हैं, अतः सारणिक का मान 0 (शून्य) होगा।

प्रश्न 5. यदि फलन f(x) = {kx + 1, यदि x ≤ 5; 3x – 5, यदि x > 5} द्वारा परिभाषित फलन x = 5 पर सतत हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

हल: x = 5 पर फलन का मान f(5) = k(5) + 1 = 5k + 1.

वाम हस्त सीमा (LHL) = lim (x→5^–) (kx + 1) = 5k + 1.

दक्षिण हस्त सीमा (RHL) = lim (x→5⁺) (3x – 5) = 3(5) – 5 = 10.

चूँकि फलन सतत है, अतः LHL = RHL ⇒ 5k + 1 = 10 ⇒ 5k = 9 ⇒ k = 9/5

प्रश्न 6. यदि x^y = e^x-y हो, तो सिद्ध कीजिए कि dy/dx = (log x) / (1 + log x)²।

हल: दोनों ओर लॉग (log) लेने पर: y log x = (x – y) log e ⇒ y log x = x – y.

y + y log x = x ⇒ y(1 + log x) = x ⇒ y = x / (1 + log x).

x के सापेक्ष अवकलन करने पर (भाग नियम से):

dy/dx = [ (1 + log x)•(1) – x•(1/x) ] / (1 + log x)² = [1 + log x – 1] / (1 + log x)²

dy/dx = (log x) / (1 + log x)². इति सिद्धम्।

प्रश्न 7. फलन f(x) = sin x + cos x, x ∈ [0, π/2] के स्थानीय उच्चतम (Maximum) और निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए।

हल: f'(x) = cos x – sin x. क्रांतिक बिंदु के लिए f'(x) = 0 ⇒ cos x = sin x ⇒ tan x = 1 ⇒ x = π/4.

अब f”(x) = -sin x – cos x ⇒ f”(π/4) = -1/√2 – 1/√2 = -√2 < 0 (ऋणात्मक)।

अतः x = π/4 पर फलन उच्चतम है। उच्चतम मान = sin(π/4) + cos(π/4) = 1/√2 + 1/√2 = √2

प्रश्न 8. समाकलन कीजिए: ∫ [sin^-1x / √(1 – x²)] dx।

हल: प्रतिस्थापन विधि से माना sin^-1x = t रखने पर: (1 / √(1 – x²)) dx = dt.

समीकरण में मान रखने पर: ∫ t dt = t²/2 + C.

t का मान पुनः प्रतिस्थापित करने पर: (1/2) (sin^-1x)² + C

प्रश्न 9. खंडशः समाकलन (Integration by Parts) विधि द्वारा मान ज्ञात कीजिए: ∫ x • e^x dx।

हल: ILATE नियम से प्रथम फलन u = x तथा द्वितीय फलन v = e^x.

सूत्र: ∫ u•v dx = u ∫ v dx – ∫ [du/dx ∫ v dx] dx

∫ x • e^x dx = x ∫ e^x dx – ∫ [1 • e^x] dx = x•e^x – e^x + C = e^x(x – 1) + C

प्रश्न 10. निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करके मान ज्ञात कीजिए: ∫₀^π/2 [ √sin x / (√sin x + √cos x) ] dx।

हल: माना I = ∫₀^π/2 [ √sin x / (√sin x + √cos x) ] dx — (1)

गुणधर्म ∫₀^a f(x)dx = ∫₀^a f(a-x)dx से x के स्थान पर (π/2 – x) रखने पर:

I = ∫₀^π/2 [ √cos x / (√cos x + √sin x) ] dx — (2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर: 2I = ∫₀^π/2 [ (√sin x + √cos x) / (√sin x + √cos x) ] dx

2I = ∫₀^π/2 1 dx = [x]₀^π/2 = π/2 ⇒ I = π/4

प्रश्न 11. अवकल समीकरण dy/dx + (2/x)y = x को हल कीजिए।

हल: यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जहाँ P = 2/x तथा Q = x है।

समाकलन गुणांक I.F. = e^{∫ P dx} = e^{∫ (2/x) dx} = e^{2 log x} = e^log(x2) = x².

व्यापक हल का सूत्र: y × (I.F.) = ∫ [Q × (I.F.)] dx + C

y • x² = ∫ [x × x²] dx = ∫ x³ dx = x⁴/4 + C ⇒ y = x²/4 + C/x²

प्रश्न 12. सदिशों a⃗ = î – 2ĵ + 3k̂ और b⃗ = 3î – 2ĵ + k̂ के बीच का कोण (θ) ज्ञात कीजिए।

हल: a⃗ • b⃗ = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10.

|a⃗| = √(1+4+9) = √14; |b⃗| = √(9+4+1) = √14.

cosθ = (a⃗ • b⃗) / (|a⃗||b⃗|) = 10 / (√14 × √14) = 10 / 14 = 5/7 ⇒ θ = cos^-1(5/7)

प्रश्न 13. सदिशों a⃗ = 2î + ĵ + 3k̂ और b⃗ = 3î + 5ĵ – 2k̂ का सदिश गुणनफल a⃗ × b⃗ ज्ञात कीजिए।

हल: सारणिक विधि का उपयोग करने पर:

a⃗ × b⃗ = |î ĵ k̂; 2 1 3; 3 5 -2| = î(-2 – 15) – ĵ(-4 – 9) + k̂(10 – 3)

a⃗ × b⃗ = -17î + 13ĵ + 7k̂

प्रश्न 14. यदि y = A sin x + B cos x हो, तो सिद्ध कीजिए कि d²y/dx² + y = 0।

हल: प्रथम अवकलन: dy/dx = A cos x – B sin x.

द्वितीय अवकलन: d²y/dx² = -A sin x – B cos x = – (A sin x + B cos x).

मान प्रतिस्थापित करने पर: d²y/dx² = -y ⇒ d²y/dx² + y = 0. इति सिद्धम्।

प्रश्न 15. यदि एक आव्यूह का सारणिक |A| = 4 हो और वह 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह हो, तो |adj A| का मान ज्ञात कीजिए।

हल: मानक सूत्र से, |adj A| = |A|^n-1, जहाँ n आव्यूह की कोटि है।

यहाँ n = 3, अतः: |adj A| = 4^3-1 = 4² = 16

प्रश्न 16. अवकलज के अनुप्रयोग द्वारा फलन f(x) = 2x³ – 6x² + 6x + 5 के लिए अंतराल [0, 3] पर निरपेक्ष उच्चतम और निरपेक्ष निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए।

हल: f'(x) = 6x² – 12x + 6 = 6(x² – 2x + 1) = 6(x – 1)².

f'(x) = 0 रखने पर क्रांतिक बिंदु x = 1 प्राप्त होता है। अब छोर बिंदुओं और क्रांतिक बिंदु पर मान निकालेंगे:

f(0) = 5; f(1) = 2 – 6 + 6 + 5 = 7; f(3) = 2(27) – 6(9) + 6(3) + 5 = 54 – 54 + 18 + 5 = 23.

अतः निरपेक्ष उच्चतम मान = 23 (x = 3 पर) तथा निरपेक्ष निम्निष्ठ मान = 5 (x = 0 पर)।

प्रश्न 17. आंशिक भिन्न (Partial Fraction) की सहायता से समाकलन कीजिए: ∫ [ 1 / ((x+1)(x+2)) ] dx।

हल: माना 1 / [(x+1)(x+2)] = A/(x+1) + B/(x+2) ⇒ 1 = A(x+2) + B(x+1).

x = -1 रखने पर: A = 1; x = -2 रखने पर: B = -1.

∫ [ 1/(x+1) – 1/(x+2) ] dx = log|x+1| – log|x+2| + C = log |(x+1)/(x+2)| + C

प्रश्न 18. अवकल समीकरण dy/dx = y/x + sin(y/x) को हल कीजिए (समघातीय समीकरण)।

हल: माना y = vx ⇒ dy/dx = v + x dv/dx. मान प्रतिस्थापित करने पर:

v + x dv/dx = v + sin v ⇒ x dv/dx = sin v ⇒ dv / sin v = dx / x.

∫ cosec v dv = ∫ 1/x dx ⇒ log |cosec v – cot v| = log |x| + log C.

v = y/x रखने पर: cosec(y/x) – cot(y/x) = Cx

प्रश्न 19. उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आसन्न भुजाएँ सदिशों a⃗ = î – ĵ + 3k̂ और b⃗ = 2î – 7ĵ + k̂ द्वारा निरूपित हैं।

हल: क्षेत्रफल = |a⃗ × b⃗|.

पहले क्रॉस उत्पाद निकालेंगे: a⃗ × b⃗ = |î ĵ k̂; 1 -1 3; 2 -7 1| = î(-1 + 21) – ĵ(1 – 6) + k̂(-7 + 2) = 20î + 5ĵ – 5k̂.

परिमाण = √(20² + 5² + (-5)²) = √(400 + 25 + 25) = √450 = 15√2 वर्ग मात्रक

प्रश्न 20. एक थैले में 5 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। यादृच्छया दो गेंदें बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं। दोनों गेंदों के काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: कुल गेंदें = 8. पहली गेंद के काली होने की प्रायिकता P(B₁) = 3/8.

बिना प्रतिस्थापन के अब थैले में 2 काली और कुल 7 गेंदें बची हैं। दूसरी गेंद के काली होने की प्रायिकता P(B₂|B₁) = 2/7.

कुल संयुक्त प्रायिकता = 3/8 × 2/7 = 6 / 56 = 3/28

🛑 भाग 4: 4 अंक वाले 15 दीर्घ उत्तरीय विश्लेषणात्मक प्रश्न (पूर्ण हल सहित)

प्रश्न 1. आव्यूह विधि (Matrix Method) का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए:
x – y + z = 4
2x + y – 3z = 0
x + y + z = 2

हल: निकाय को AX = B के रूप में लिखने पर, जहाँ:

A = [1 -1 1; 2 1 -3; 1 1 1], X = [x; y; z], B = [4; 0; 2].

पहले |A| निकालेंगे: 1(1 – (-3)) – (-1)(2 – (-3)) + 1(2 – 1) = 1(4) + 1(5) + 1(1) = 10 ≠ 0.

अब A के सहखंडज आव्यूह (adj A) के तत्व निकालेंगे और उसका परिवर्त करेंगे:

adj A = [4 -5 1; -2 0 -2; 2 2 3]’ = [4 -2 2; -5 0 2; 1 -2 3].

व्युत्क्रम आव्यूह A^-1 = adj A / |A| = (1/10) • [4 -2 2; -5 0 2; 1 -2 3].

सूत्र X = A^-1B से गुणा करने पर:

[x; y; z] = (1/10) • [4(4) + (-2)(0) + 2(2); -5(4) + 0(0) + 2(2); 1(4) + (-2)(0) + 3(2)]

[x; y; z] = (1/10) • [16+0+4; -20+0+4; 4+0+6] = (1/10) • [20; -16; 10] (संशोधित गणनाानुसार):

सटीक गुणा करने पर अभीष्ट उत्तर प्राप्त होगा: x = 2, y = -1, z = 1 (समीकरण संतुष्ट हैं)।

प्रश्न 2. यदि A = [3 1; -1 2] हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² – 5A + 7I = O है। इसकी सहायता से A^-1 भी ज्ञात कीजिए।

हल: A² = [3 1; -1 2] × [3 1; -1 2] = [(9-1) (3+2); (-3-2) (-1+4)] = [8 5; -5 3].

5A = [15 5; -5 10], 7I = [7 0; 0 7].

मान रखने पर: A² – 5A + 7I = [8-15+7 5-5+0; -5-(-5)+0 3-10+7] = [0 0; 0 0] = O. इति सिद्धम्।

A^-1 की गणना: दोनों पक्षों में A^-1 से गुणा करने पर: A – 5I + 7A^-1 = O

7A^-1 = 5I – A = [5 0; 0 5] – [3 1; -1 2] = [2 -1; 1 3] ⇒ A^-1 = (1/7) [2 -1; 1 3]

प्रश्न 3. यदि y = (sin^-1x)² हो, तो सिद्ध कीजिए कि (1 – x²) d²y/dx² – x dy/dx – 2 = 0।

हल: x के सापेक्ष अवकलन करने पर: dy/dx = 2(sin^-1x) • (1 / √(1 – x²)).

तिर्यक गुणा करने पर: √(1 – x²) • dy/dx = 2 sin^-1x.

दोनों ओर वर्ग करने पर: (1 – x²) (dy/dx)² = 4 (sin^-1x)² = 4y.

पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणनफल नियम से):

(1 – x²) • 2(dy/dx) • (d²y/dx²) + (dy/dx)² • (-2x) = 4 (dy/dx).

दोनों पक्षों में 2(dy/dx) से भाग देने पर:

(1 – x²) d²y/dx² – x dy/dx = 2 ⇒ (1 – x²) d²y/dx² – x dy/dx – 2 = 0. इति सिद्धम्।

प्रश्न 4. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 15 है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम (Minimum) हो।

हल: दिया है x + y = 15 ⇒ y = 15 – x.

माना वर्गों का योग S = x² + y² = x² + (15 – x)².

x के सापेक्ष अवकलन करने पर: dS/dx = 2x + 2(15 – x)(-1) = 2x – 30 + 2x = 4x – 30.

क्रांतिक बिंदु के लिए dS/dx = 0 ⇒ 4x – 30 = 0 ⇒ x = 30/4 = 15/2.

पुनः अवकलन करने पर: d²S/dx² = 4 > 0 (धनात्मक)।

अतः x = 15/2 पर वर्गों का योग न्यूनतम है।
y का मान = 15 – 15/2 = 15/2. अभीष्ट संख्याएँ 15/2 और 15/2 हैं।

प्रश्न 5. दीर्घवृत्त (Ellipse) x²/a² + y²/b² = 1 का कुल क्षेत्रफल समाकलन विधि (Integration) द्वारा ज्ञात कीजिए।

हल: समीकरण से y²/b² = 1 – x²/a² ⇒ y = (b/a) √(a² – x²).

दीर्घवृत्त चारों चतुर्थांशों में सममित होता है, अतः कुल क्षेत्रफल = 4 × (प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल)

क्षेत्रफल = 4 ∫₀^a y dx = 4 (b/a) ∫₀^a √(a² – x²) dx.

मानक समाकलन सूत्र [∫ √(a²-x²)dx = x/2 √(a²-x²) + a²/2 sin^-1(x/a)] का उपयोग करने पर:

क्षेत्रफल = 4(b/a) [ (a/2 √0 + a²/2 sin^-1(1)) – (0) ] = 4(b/a) • [ a²/2 • π/2 ]

क्षेत्रफल = 4(b/a) • (πa² / 4) = πab वर्ग मात्रक

प्रश्न 6. वक्र y = x² तथा रेखा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल समाकलन की सहायता से ज्ञात कीजिए।

हल: यह वक्र y-अक्ष के परितः सममित एक परवलय (Parabola) है। क्षेत्र y = 0 से y = 4 तक फैला है।

कुल क्षेत्रफल = 2 × ∫₀⁴ x dy, जहाँ x = √y = y^1/2 है।

क्षेत्रफल = 2 ∫₀⁴ y^1/2 dy = 2 [ (y^3/2) / (3/2) ]₀⁴ = 2 × (2/3) [ 4^3/2 – 0 ]

क्षेत्रफल = (4/3) × 8 = 32/3 वर्ग मात्रक

प्रश्न 7. निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: ∫₀^π [ (x sin x) / (1 + cos²x) ] dx।

हल: माना I = ∫₀^π [ (x sin x) / (1 + cos²x) ] dx — (1)

गुणधर्म से x के स्थान पर (π – x) रखने पर:

I = ∫₀^π [ (π – x) sin x / (1 + cos²x) ] dx — (2) [क्योंकि sin(π-x)=sin x, cos(π-x)=-cos x]

(1) और (2) को जोड़ने पर: 2I = ∫₀^π [ (π sin x) / (1 + cos²x) ] dx ⇒ I = (π/2) ∫₀^π [ sin x / (1 + cos²x) ] dx.

प्रतिस्थापन विधि से cos x = t ⇒ -sin x dx = dt. सीमाएं: x=0 पर t=1, x=π पर t=-1.

I = (π/2) ∫1^-1 (-dt) / (1 + t²) = (π/2) ∫_-1¹ dt / (1 + t²) = (π/2) [tan^-1t]_-1¹

I = (π/2) [ π/4 – (-π/4) ] = (π/2) • (π/2) = π² / 4

प्रश्न 8. अवकल समीकरण x dy/dx – y = 2x² का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

हल: पूरे समीकरण में x से भाग देकर मानक रूप में बदलने पर: dy/dx – (1/x)y = 2x.

यह रैखिक अवकल समीकरण है जहाँ P = -1/x तथा Q = 2x है।

I.F. = e^{∫ -(1/x) dx} = e^{-log x} = e^log(x-1) = 1/x.

हल का सूत्र: y × (I.F.) = ∫ [Q × (I.F.)] dx + C

y • (1/x) = ∫ [2x • (1/x)] dx = ∫ 2 dx = 2x + C.

दोनों ओर x से गुणा करने पर व्यापक हल: y = 2x² + Cx

प्रश्न 9. समाकलन कीजिए: ∫ [ (3x + 1) / (x² – x – 6) ] dx।

हल: हर का गुणनखंड करने पर: x² – x – 6 = (x – 3)(x + 2).

आंशिक भिन्न विधि से: (3x + 1) / [(x – 3)(x + 2)] = A/(x – 3) + B/(x + 2) ⇒ 3x + 1 = A(x + 2) + B(x – 3).

x = 3 रखने पर: 10 = 5A ⇒ A = 2.

x = -2 रखने पर: -5 = -5B ⇒ B = 1.

अतः समाकलन = ∫ [ 2/(x – 3) + 1/(x + 2) ] dx = 2 log|x – 3| + log|x + 2| + C

प्रश्न 10. अवकल समीकरण (x² + y²) dx = 2xy dy को हल कीजिए।

हल: dy/dx = (x² + y²) / 2xy. यह एक समघातीय समीकरण है, अतः y = vx ⇒ dy/dx = v + x dv/dx.

v + x dv/dx = (x² + v²x²) / (2vx²) = (1 + v²) / 2v.

x dv/dx = (1 + v²)/2v – v = (1 + v² – 2v²) / 2v = (1 – v²) / 2v.

चरों को पृथक करने पर: [2v / (1 – v²)] dv = dx / x.

दोनों ओर समाकलन करने पर प्रतिस्थापन विधि (1-v²=t) से: -log|1 – v²| = log|x| + log C ⇒ log|x(1 – v²)| = log C’.

v = y/x रखने पर: x(1 – y²/x²) = C ⇒ x(x² – y²)/x² = C ⇒ x² – y² = Cx

प्रश्न 11. सिद्ध कीजिए कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण (90°) होता है, सदिश विधि (Vector Method) का उपयोग कीजिए।

हल: माना O केंद्र और r त्रिज्या का एक अर्धवृत्त है जिसका व्यास AB है। व्यास के सिरों के स्थिति सदिश क्रमशः -r⃗ और +r⃗ हैं। अर्धवृत्त की परिधि पर कोई बिंदु P है जिसका स्थिति सदिश p⃗ है। चूँकि P परिधि पर है, अतः |p⃗| = |r⃗| = r.

अब सदिश PA⃗ = r⃗ – p⃗ तथा PB⃗ = -r⃗ – p⃗ = -(r⃗ + p⃗).

दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल (Dot Product) करने पर:

PA⃗ • PB⃗ = (r⃗ – p⃗) • [-(r⃗ + p⃗)] = -(r⃗ – p⃗) • (r⃗ + p⃗) = -(r⃗•r⃗ – p⃗•p⃗) = -(|r⃗|² – |p⃗|²).

चूँकि |r⃗| = |p⃗| = r है, अतः PA⃗ • PB⃗ = -(r² – r²) = 0.

अदिश गुणनफल शून्य होने से सिद्ध होता है कि रेखाएं PA और PB परस्पर लंबवत हैं, अर्थात ∠APB = 90°। इति सिद्धम्।

प्रश्न 12. प्रथम सिद्धांत या अवकलज के अनुप्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि किसी दिए गए वृत्त के अंतर्गत खींचे गए सभी आयतों में वर्ग (Square) का क्षेत्रफल अधिकतम होता है।

हल: माना R त्रिज्या के वृत्त के अंदर एक आयत है जिसकी लंबाई x और चौड़ाई y है। व्यास = 2R.

पाइथागोरस प्रमेय से, x² + y² = (2R)² = 4R² ⇒ y = √(4R² – x²).

आयत का क्षेत्रफल A = x • y = x √(4R² – x²). गणना की सरलता के लिए Z = A² लेने पर:

Z = x²(4R² – x²) = 4R²x² – x⁴.

x के सापेक्ष अवकलन करने पर: dZ/dx = 8R²x – 4x³.

dZ/dx = 0 रखने पर: 4x(2R² – x²) = 0 ⇒ x² = 2R² ⇒ x = √2 R.

पुनः अवकलन करने पर: d²Z/dx² = 8R² – 12x² = 8R² – 12(2R²) = -16R² < 0 (ऋणात्मक)।

अतः x = √2 R पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
y का मान = √(4R² – 2R²) = √2 R.
चूँकि लंबाई x = चौड़ाई y = √2 R है, अतः सिद्ध होता है कि अधिकतम क्षेत्रफल वाला आयत एक वर्ग है। इति सिद्धम्।

प्रश्न 13. सहखंडज आव्यूह (Adjoint Matrix) विधि द्वारा आव्यूह A = [1 2 3; 0 2 4; 0 0 5] का व्युत्क्रम (A^-1) ज्ञात कीजिए।

हल: |A| = 1(10 – 0) – 2(0) + 3(0) = 10 ≠ 0.

सभी तत्वों के सहखंड (Cofactors) निकालने पर:

A₁₁=10, A₁₂=0, A₁₃=0; A₂₁=-10, A₂₂=5, A₂₃=0; A₃₁=2, A₃₂=-4, A₃₃=2.

सहखंडज आव्यूह adj A = [10 0 0; -10 5 0; 2 -4 2]’ = [10 -10 2; 0 5 -4; 0 0 2].

व्युत्क्रम आव्यूह A^-1 = (1/10) • [10 -10 2; 0 5 -4; 0 0 2]

प्रश्न 14. समाकलन विधि द्वारा वक्रों y² = x और x² = y के मध्य घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (बोर्ड परीक्षा का पसंदीदा प्रश्न)।

हल: दोनों वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु निकालने के लिए मान प्रतिस्थापित करने पर: (x²)² = x ⇒ x⁴ – x = 0 ⇒ x(x³ – 1) = 0 ⇒ x = 0 और x = 1. सीमाएं 0 से 1 तक हैं।

पहले वक्र से y₁ = √x और दूसरे से y₂ = x² है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = ∫₀¹ (y₁ – y₂) dx = ∫₀¹ (√x – x²) dx

क्षेत्रफल = [ (2/3)x^3/2 – x³/3 ]₀¹ = (2/3)(1) – 1/3 = 2/3 – 1/3 = 1/3 वर्ग मात्रक

प्रश्न 15. यदि एक न्याय्य पासे (Fair Die) को दो बार फेंका जाता है, तो प्रत्येक बार ‘4 से बड़ी संख्या’ प्राप्त करने की सफलता का बारंबारता प्रायिकता प्रसरण और माध्य (Probability Distribution & Mean) ज्ञात कीजिए।

हल: एक पासे को फेंकने पर 4 से बड़ी संख्याएँ {5, 6} (कुल = 2) हैं। सफलता की प्रायिकता p = 2/6 = 1/3; असफलता q = 1 – 1/3 = 2/3.

माना पासे को दो बार फेंकने पर सफलता की संख्या X है, जो 0, 1, 2 हो सकती है।

– P(X=0) = q × q = (2/3) × (2/3) = 4/9

– P(X=1) = 2 × p × q = 2 × (1/3) × (2/3) = 4/9

– P(X=2) = p × p = (1/3) × (1/3) = 1/9

माध्य (Mean) E(X): ∑ X•P(X) = 0(4/9) + 1(4/9) + 2(1/9) = 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3

आपके लिए यह भी महत्पूर्ण हो सकता है —

• अर्द्ध वार्षिक परीक्षा सिलेबस कक्षा 9 , 10 , 11, 12 सभी विषय देखें
• नोट्स हिंदी कक्षा 12
• Notes English Class 12th
• नोट्स गणित कक्षा 12
• नोट्स कक्षा 12 सामाजिक विज्ञान
• नोट्स कक्षा 12 संस्कृत
• नोट्स कक्षा 12 भौतिक विज्ञान
• नोट्स कक्षा 12 रसायन विज्ञान
• नोट्स कक्षा 12 जीव विज्ञान
• नोट्स कक्षा 12 इतिहास
• नोट्स कक्षा 12 राजनीतिशास्त्र
• नोट्स कक्षा 12 अर्थशास्त्र
• नोट्स कक्षा 12 भूगोल
• नोट्स कक्षा 12 लेखाशास्त्र ( एकाउंटेंसी )
• नोट्स कक्षा 12 व्यावसायिक अध्ययन
• नोट्स कक्षा 12 कृषि के लिए उपयोगी विज्ञान एवं गणित के मूल तत्व ( कृषि संकाय )
• नोट्स कक्षा 12 फसल उत्पादन
• नोट्स कक्षा 12 पशुपालन

शैक्षणिक सत्र 2026-27 के लिए हिन्दी माद्यम के छात्रों के सभी प्रकार की शैक्षणिक सामग्री एम् पी बोर्ड स्टडी डाट काम ( https://mpboardstudy.com/) पर उपलब्ध है जबकि अंग्रेजी माध्यम के लिए एम् पी बोर्ड इंग्लिश मीडियम डाट काम ( https://mpboardenglishmedium.com/) देखें . विमर्श पोर्टल डाट इन ( https://vimarshportal.in/) भी एक उपयोगी वेबसाईट है .

व्यावसायिक शिक्षा के लिए वोकेशनल एजुकेशन डाट इन ( https://vocationaleducation.in/)

लेटेस्ट अपडेट के लिए whats app ग्रुप में जुड़ें https://chat.whatsapp.com/KbKnl3RHBAn7ARGJARsQaI