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त्रैमासिक परीक्षा 2026 हेतु कक्षा 12 गणित विषय का मॉडल /प्रैक्टिस प्रश्न पत्र ब्लू प्रिंट के आधार पर दिया गया है विद्यार्थी इसे अवश्य हल करें .

त्रैमासिक परीक्षा 2026-27 (अभ्यास प्रश्न पत्र)

कक्षा: 12वीं | विषय: गणित (Mathematics)

समय: 03 घंटे पूर्णांक: 80 अंक

सामान्य निर्देश:

सभी प्रश्न हल करना अनिवार्य हैं।
प्रश्न क्रमांक 1 से 5 तक कुल 32 वस्तुनिष्ठ (Objective) प्रश्न हैं, प्रत्येक पर 1 अंक निर्धारित है।
प्रश्न क्रमांक 6 से 15 तक कुल 10 लघु उत्तरीय प्रश्न हैं, प्रत्येक प्रश्न पर 2 अंक हैं।
प्रश्न क्रमांक 16 से 19 तक कुल 4 प्रश्न हैं, प्रत्येक प्रश्न पर 3 अंक हैं।
प्रश्न क्रमांक 20 से 23 तक कुल 4 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न हैं, प्रत्येक प्रश्न पर 4 अंक हैं।

प्रश्न 1. सही विकल्प चुनकर लिखिए (1×6 = 6 अंक)

(i) यदि समुच्चय

A = {1, 2, 3}

पर एक संबंध

R = {(1,1), (2,2), (3,3)}

परिभाषित है, तो संबंध

R

है:

(अ) केवल स्वतुल्य (Reflexive)

(ब) केवल सममित (Symmetric)

(स) केवल संक्रामक (Transitive)

(द) तुल्यता संबंध (Equivalence Relation)

(ii)

sin -1

(

-

) का मुख्य मान (Principal Value) क्या होगा?

(अ)

π6

(ब) –

π6

(स)

5π6

(द)

7π6

(iii) यदि एक आव्यूह (Matrix)

A

का क्रम

2 \times 3

है तथा

B

का क्रम

3 \times 4

है, तो आव्यूह

AB

का क्रम होगा:

(अ)

3 \times 3

(ब)

2 \times 4

(स)

4 \times 2

(द) गुणन संभव नहीं है

(iv) यदि

x	2
18	x

6	2
18	6

हो, तो

x

का मान है:

(अ)

6

(ब)

\pm 6

(स)

-6

(द)

0

(v) फलन

f(x) = log(sin x)

का

x

के सापेक्ष अवकलज (Derivative) होगा:

(अ)

tan x

(ब)

cot x

(स)

1sin x

(द)

-cot x

(vi) एक वृत्त की त्रिज्या

r = 6 cm

पर

r

के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर क्या होगी?

(अ)

10π

(ब)

12π

(स)

8π

(द)

36π

प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (1×6 = 6 अंक)

(i) फलन $f(x) = x 2$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R \to R$ न तो एकैकी है और न ही ________________ है।

(ii) $tan -1 x + cot -1 x$ का मान ________________ होता है।

(iii) एक वर्ग आव्यूह $A$ सममित कहलाता है यदि $A’ =$ ________________।

(iv) यदि किसी सारणिक की कोई दो पंक्तियाँ या स्तंभ समान हों, तो उसका मान ________________ होता है।

(v) ddx(tan^-1 x) = ________________ होता है।
(vi) फलन f(x) = x³ – 3x² + 4x, वास्तविक संख्याओं पर निरंतर ________________ फलन है।

प्रश्न 4. सही जोड़ी बनाइए (1×7 = 7 अंक)

स्तम्भ (अ)

स्तम्भ (ब)

(i) sin^-1(sin x)

(अ) 0

(ii) आव्यूह का सहखंडज (adj A) नियम

(ब) x

(iii)

1	0
0	1

का मान

(स) sec x · tan x

(iv)

ddx

(sec x)

(द) (adj A) · A = |A|I

(v) विषम सममित आव्यूह के मुख्य विकर्ण के अवयव

(इ) 1

(vi)

ddx

(a^x)

(फ) a^x log_e a

(vii) cos^-1(-x)

(ह) π – cos^-1 x

प्रश्न 5. एक वाक्य/शब्द में उत्तर दीजिए (1×7 = 7 अंक)

(i) यदि फलन f(x) = 3 – 4x द्वारा परिभाषित है, तो बताइए क्या यह एकैकी आच्छादक है?

(ii) tan^-1(1) + cos^-1(-

) का मान लिखिए।

(iii) यदि आव्यूह A =

1	2
3	4

हो, तो A + A’ का मान क्या होगा?

(iv) यदि एक वर्ग आव्यूह की कोटि 3 है और |A| = 4 है, तो |adj A| का मान लिखिए।

(v) फलन f(x) = |x| का बिंदु x = 0 पर सांतत्य परीक्षण का परिणाम क्या होगा?

(vi) फलन y = e^3x का द्वितीय कोटि अवकलज (

d²ydx²

) लिखिए।

(vii) वक्र y = x² – x की बिंदु x = 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता क्या होगी?

लघु उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 6 से 15, प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है)

प्रश्न 6. यदि f(x) = 8x³ तथा g(x) = x^1/3 हो, तो g o f(x) का मान ज्ञात कीजिए।

अथवा

सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों के समुच्चय Z पर संबंध R = {(a,b) : 2, (a-b) को विभाजित करता है} एक स्वतुल्य संबंध है।

प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए: 2tan^-1(

) = tan^-1(

)।

अथवा

फलन tan^-1[

cos x – sin xcos x + sin x

] को सरलतम रूप में व्यक्त कीजिए।

प्रश्न 8. यदि A =

2	4
3	2

तथा B =

1	3
-2	5

हो, तो आव्यूह 2A – B ज्ञात कीजिए।

अथवा

यदि समीकरण

x+y

और x-y = 2 हो, तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 9. सारणिक का मान ज्ञात कीजिए:

cosθ	-sinθ
sinθ	cosθ

।

अथवा

यदि

2	4
5	1

2x	4
6	x

हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 10. बिंदु x = 3 पर फलन f(x) = 2x^2 – 1 के सांतत्य की जाँच कीजिए।

अथवा

यदि y = sin(x² + 5) हो, तो अवकलज

dydx

ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11. यदि x = a cosθ और y = a sinθ हो, तो

dydx

का मान ज्ञात कीजिए।

अथवा

यदि y = log(log x) हो, तो dydx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 12. वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें फलन f(x) = x² – 4x + 6 निरंतर वर्धमान है।

अथवा

एक गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या 10 cm होने पर, उसकी त्रिज्या के सापेक्ष आयतन में परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 13. आव्यूह A =

3	5
1	-1

के लिए इसके सममित भाग

(A + A’) का मान ज्ञात कीजिए।

अथवा

यदि A =

1	2
2	1

हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² – 3I = 2A.

प्रश्न 14. k के किस मान के लिए दिया गया फलन संतत है:
f(x) = {

kx + 1,	यदि x ≤ 5
3x – 5,	यदि x > 5

बिंदु x = 5 पर।

अथवा

रोले के प्रमेय को फलन f(x) = x² + 2x – 8, जहाँ x ∈ [-4, 2] के लिए सत्यापित करने हेतु मध्यवर्ती बिंदु c का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 15. वक्र y = x³ – 3x + 2 की उस बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (Slope) ज्ञात कीजिए जिसका x-निर्देशांक 3 है।

अथवा

सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = e^2x, वास्तविक संख्याओं पर निरंतर वर्धमान फलन है।

विषयपरक प्रश्न (प्रश्न 16 से 19, प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है)

प्रश्न 16. यदि समीकरण का पालन होता है, तो x का मान ज्ञात कीजिए:

tan^-1(

x-1x-2

) + tan^-1(

x+1x+2

) =

π4

अथवा

सिद्ध कीजिए:

sin^-1(

) – sin^-1(

817

) = cos^-1(

8485

)

प्रश्न 17. यदि A =

1	2	3
3	-2	1
4	2	1

हो, तो दर्शाइए कि A³ – 23A – 40I = O.

अथवा

आव्यूह समीकरण विधि का उपयोग करके आव्यूह A =

2	3
1	4

का व्युत्क्रम आव्यूह (A^-1) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 18. यदि √(1-x²) + √(1-y²) = a(x-y) हो, तो सिद्ध कीजिए कि:

dydx

= √(

1-y²1-x²

)

अथवा

लघुगणकीय अवकलन विधि द्वारा यदि y = (x log x)^x हो, तो

dydx

का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 19. वक्र x^2/3 + y^2/3 = a^2/3 के किसी निर्दिष्ट बिंदु (x₁, y₁) पर अभिलंब (Normal) का समीकरण ज्ञात कीजिए।

अथवा

ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योगफल 35 हो और उनका गुणनफल x²y⁵ उच्चतम (Maximum) हो।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 20 से 23, प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है)

प्रश्न 20. यदि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर संबंध R = {(a,b) : a ≤ b²} द्वारा परिभाषित है, तो जाँच कीजिए कि क्या यह संबंध स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।

अथवा

मान लीजिए कि A = R – {3} तथा B = R – {1} हैं। फलन f: A → B, जो कि f(x) =

x-2x-3

द्वारा परिभाषित है, तो सिद्ध कीजिए कि फलन f एकैकी तथा आच्छादक है।

प्रश्न 21. सारणिक के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए:

a-b-c	2a	2a
2b	b-c-a	2b
2c	2c	c-a-b

= (a+b+c)³

अथवा

आव्यूह विधि (Matrix Method) का प्रयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए:

2x + 3y + 3z = 5
x – 2y + z = -4
3x – y – 2z = 3

प्रश्न 22. यदि y = (sin^-1 x)² हो, तो गणितीय चरणों द्वारा दर्शाइए कि:

(1-x²)

d²ydx²

– x

dydx

– 2 = 0

अथवा

यदि दिया गया फलन बिंदु x = 0 पर संतत है, तो a का मान ज्ञात कीजिए:

f(x) = {

1 – cos 4xx² ,	यदि x < 0
a,	यदि x = 0
√x√(16+√x) – 4 ,	यदि x > 0

प्रश्न 23. सिद्ध कीजिए कि एक निश्चित आयतन के दिए गए खुले टैंक, जिसका आधार वर्गाकार हो, को बनाने में न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल (Surface Area) की आवश्यकता तब होगी जब उसकी गहराई उसकी चौड़ाई की आधी हो।

अथवा

वक्र y = cos(x+y), जहाँ -2π ≤ x ≤ 2π है, की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो दी गई रेखा x + 2y = 0 के समांतर हैं।

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